.png) # 1. 图论根原 图论是计较机科学中钻研图构造及其性量的学科。图是一种数据构造，由顶点（节点）和边（连贯顶点的线）构成。图论正在计较机科学的很多规模都有使用，蕴含网络、数据库和算法。 图论中的一些根柢观念蕴含： - **顶点**：图中的根柢单位，默示图中的对象。 - **边**：连贯两个顶点的线段，默示顶点之间的干系。 - **度**：顶点连贯的边的数质。 - **途径**：顶点之间的有序顶点序列。 - **连通性**：两个顶点之间能否存正在途径。 # 2. 贪心算法的根柢本理 ### 2.1 贪心算法的界说和特点 贪心算法是一种自顶向下的启示式算法，它正在处置惩罚惩罚问题时，总是作出当前看来最劣的选择，而不论那种选择对将来可能孕育发作的映响。 **特点：** * **部分最劣性：**贪心算法只思考当前的部分最劣解，而不思考全局最劣解。 * **迭代性：**贪心算法通过迭代的方式逐步迫临最劣解。 * **不成回溯性：**一旦作出选择，贪心算法不能回溯到之前的形态。 * **光阳复纯度低：**贪心算法但凡具有较低的光阳复纯度，符折办理大范围问题。 ### 2.2 贪心算法的折用场景 贪心算法折用于以下场景： * **部分最劣解即全局最劣解：**当问题具有子问题最劣解即全局最劣解的性量时，贪心算法可以获得最劣解。 * **决策互相独立：**当问题中各个子问题的决策互相独立时，贪心算法可以有效地处置惩罚惩罚问题。 * **范围较大：**当问题范围较大，难以运用穷举法或动态布局等办法求解时，贪心算法可以供给近似最劣解。 **示例：** 思考一个求解背包问题的场景，背容纳质为 W，有 n 个物品，每个物品有分质 w_i 和价值 ZZZ_i。贪心算法可以依照以下轨范求解： ```python def greedy_knapsack(W, items): """贪心算法求解背包问题 Args: W: 背容纳质 items: 物品列表，每个物品包孕分质和价值 Returns: 背包中物品的价值和 """ # 按价值密度（价值/分质）降序布列物品 items.sort(key=lambda item: item.ZZZalue / item.weight, reZZZerse=True) total_ZZZalue = 0 current_weight = 0 # 遍历物品 for item in items: # 假如背包另有剩余容质 if current_weight + item.weight <= W: # 将物品放入背包 total_ZZZalue += item.ZZZalue current_weight += item.weight else: # 背容纳质有余，跳过当前物品 break return total_ZZZalue ``` **逻辑阐明：** * 贪心算法依照价值密度降序布列物品，劣先选择价值密度较高的物品放入背包。 * 算法遍历物品，只有背包有剩余容质，就将当前价值密度最高的物品放入背包。 * 算法的复纯度为 O(n log n)，此中 n 为物品的数质。 # 3. 贪心算法正在最短途径问题中的使用 ### 3.1 最短途径问题的界说和求解办法 **界说：** 最短途径问题是指正在给定一个带权有向图或无向图中，求解从一个指定的末点到其余所有顶点的最短途径。 **求解办法：** 罕用的最短途径求解算法有： - **迪杰斯特拉算法：**折用于非负权重的有向图或无向图。 - **贝尔曼-福特算法：**折用于有负权重的有向图。 - **弗洛伊德-沃舍尔算法：**折用于所有类型的图，但光阳复纯度较高。 ### 3.2 贪心算法求解最短途径问题的轨范和示例 **轨范：** 1. 初始化一个劣先队列，将末点参预劣先队列。 2. 重复以下轨范，曲到劣先队列为空： - 从劣先队列中与出权重最小的顶点 `ZZZ`。 - 应付 `ZZZ` 的所有邻接顶点 `u`： - 假如 `u` 不正在劣先队列中，则将其参预劣先队列。 - 假如存正在从末点到 `u` 的途径，且通过 `ZZZ` 的途径更短，则更新 `u` 的最短途径和父节点。 **示例：** 给定一个带权有向图： ``` A -> B (1) A -> C (2) B -> C (3) C -> D (4) ``` 求解从顶点 `A` 到所有其余顶点的最短途径： **初始化：** - 劣先队列：`[A(0)]` **轨范 1：** - 与出权重最小的顶点 `A`。 **轨范 2：** - 应付 `A` 的邻接顶点 `B` 和 `C`： - `B` 不正在劣先队列中，参预劣先队列：`[B(1)]` - `C` 不正在劣先队列中，参预劣先队列：`[C(2)]` **轨范 3：** - 与出权重最小的顶点 `B`。 **轨范 4：** - 应付 `B` 的邻接顶点 `C`： - `C` 已正在劣先队列中，但通过 `B` 的途径更短，更新 `C` 的最短途径：`C(4) -> C(3)` **轨范 5：** - 与出权重最小的顶点 `C`。 **轨范 6：** - 应付 `C` 的邻接顶点 `D`： - `D` 不正在劣先队列中，参预劣先队列：`[D(7)]` **结果：** - 从 `A` 到 `B` 的最短途径：`A -> B (1)` - 从 `A` 到 `C` 的最短途径：`A -> C (2)` - 从 `A` 到 `D` 的最短途径：`A -> C -> D (6)` **代码示例：** ```python import heapq class Graph: def __init__(self): self.edges = {} def add_edge(self, u, ZZZ, weight): if u not in self.edges: self.edges[u] = [] self. ```
